کار در کلاس ۱ حل معادله درجه دوم حسابان یازدهم
معادله $۳x^۲ = ۵x - ۲$ را حل کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۷ حسابان یازدهم
سلام به دانشآموزان عزیز! برای حل این معادله، ابتدا باید آن را به **صورت استاندارد معادله درجه دوم** ($ax^۲ + bx + c = ۰$) درآوریم. سپس میتوانیم از روشهای مختلفی مانند **تجزیه** یا **فرمول دلتا** برای پیدا کردن ریشهها استفاده کنیم. در اینجا هر دو روش را بررسی میکنیم.
---
### گام اول: استانداردسازی معادله
معادله داده شده: $۳x^۲ = ۵x - ۲$
همه جملات را به یک طرف میبریم تا سمت دیگر صفر شود:
$$۳x^۲ - ۵x + ۲ = ۰$$
حالا معادله به صورت استاندارد با ضرایب زیر است:
* $a = ۳$
* $b = -۵$
* $c = ۲$
---
### روش اول: حل با استفاده از تجزیه (تکنیک $a+b+c$)
در این روش، به ضرایب $a, b, c$ نگاه میکنیم. اگر **مجموع ضرایب** صفر شود ($a+b+c=۰$)، یک ریشه همیشه **۱** است و ریشه دیگر برابر است با $\frac{c}{a}$.
* مجموع ضرایب: $a + b + c = ۳ + (-۵) + ۲ = ۵ - ۵ = ۰$
چون مجموع ضرایب صفر شد، میتوانیم ریشهها را فوراً پیدا کنیم:
* **ریشه اول ($x_۱$)**: $x_۱ = ۱$
* **ریشه دوم ($x_۲$)**: $x_۲ = \frac{c}{a} = \frac{۲}{۳}$
---
### روش دوم: حل با استفاده از فرمول دلتا ($\Delta$)
**۱. محاسبه دلتا ($\Delta$)**:
$$\Delta = b^۲ - ۴ac$$
$$\Delta = (-۵)^۲ - ۴(۳)(۲)$$
$$\Delta = ۲۵ - ۲۴$$
$$\Delta = ۱$$
**۲. محاسبه ریشهها ($x_{۱,۲}$)**:
چون $\Delta > ۰$ است، معادله دو ریشه حقیقی متمایز دارد.
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{۲a}$$
$$x = \frac{-(-۵) \pm \sqrt{۱}}{۲(۳)} = \frac{۵ \pm ۱}{۶}$$
* **ریشه اول ($x_۱$)**:
$$x_۱ = \frac{۵ + ۱}{۶} = \frac{۶}{۶} = ۱$$
* **ریشه دوم ($x_۲$)**:
$$x_۲ = \frac{۵ - ۱}{۶} = \frac{۴}{۶} = \frac{۲}{۳}$$
**نتیجه**: مجموعه جواب معادله $۳x^۲ = ۵x - ۲$ به صورت زیر است:
$$\{۱, \frac{۲}{۳}\}$$
تمرین ۲ ریشه معادله درجه دوم حسابان یازدهم
اگر $x = -۱$ یک ریشه معادله $۴x^۲ - mx - ۷ = ۰$ باشد، ریشه دیگر کدام است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۷ حسابان یازدهم
سلام به دانشآموزان خوبم! این سوال دو مرحله اصلی دارد: اول باید با استفاده از ریشه داده شده، مقدار مجهول $m$ را در معادله پیدا کنیم، و بعد از آن، با استفاده از خواص ریشهها، ریشه دیگر را محاسبه کنیم.
---
### گام اول: پیدا کردن مقدار $m$
چون $x = -۱$ یک **ریشه** معادله است، با جایگذاری آن در معادله، تساوی باید برقرار شود:
معادله: $۴x^۲ - mx - ۷ = ۰$
$x = -۱$ را جایگذاری میکنیم:
$$۴(-۱)^۲ - m(-۱) - ۷ = ۰$$
$$۴(۱) + m - ۷ = ۰$$
$$۴ + m - ۷ = ۰$$
$$m - ۳ = ۰$$
$$\mathbf{m = ۳}$$
### گام دوم: بازنویسی معادله و استفاده از رابطه ریشهها
حالا که مقدار $m$ را داریم، معادله اصلی را بازنویسی میکنیم:
$$\mathbf{۴x^۲ - ۳x - ۷ = ۰}$$
این یک معادله درجه دوم به فرم $ax^۲ + bx + c = ۰$ با ضرایب زیر است:
* $a = ۴$
* $b = -۳$
* $c = -۷$
میدانیم که معادله درجه دوم دو ریشه دارد: $x_۱$ (ریشه داده شده) و $x_۲$ (ریشه دیگر که میخواهیم پیدا کنیم).
**از رابطه جمع ریشهها استفاده میکنیم ($S = x_۱ + x_۲$)**:
در هر معادله درجه دوم، **جمع ریشهها** ($S$) برابر است با: $S = -\frac{b}{a}$.
$$x_۱ + x_۲ = -\frac{b}{a}$$
$$(-۱) + x_۲ = -\frac{-۳}{۴}$$
$$-۱ + x_۲ = \frac{۳}{۴}$$
$x_۲$ را محاسبه میکنیم:
$$x_۲ = \frac{۳}{۴} + ۱$$
$$x_۲ = \frac{۳}{۴} + \frac{۴}{۴}$$ (مخرج مشترک میگیریم)
$$\mathbf{x_۲ = \frac{۷}{۴}}$$
**بررسی با رابطه ضرب ریشهها (تکمیل کننده)**:
**ضرب ریشهها** ($P$) برابر است با: $P = x_۱ x_۲ = \frac{c}{a}$.
$$( -۱ ) \times (\frac{۷}{۴}) = -\frac{۷}{۴}$$
$$\frac{c}{a} = \frac{-۷}{۴}$$
این دو با هم برابرند و جواب ما را تأیید میکنند.
**نتیجه**: ریشه دیگر معادله، $\mathbf{\frac{۷}{۴}}$ است.
